Teorema de pitágoras.

Teorema de Pitágoras.

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

a² + b² = c²

Cada uno de los sumandos, representa el área de un cuadrado de lado, a, b, c. Con lo que la expresión anterior, en términos de áreas se expresa en la forma siguiente:

El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.

Se tienen los lados de un Triángulo Rectángulo a = X cm. y

Aplicamos la Fórmula: 1. Sustituimos los valores dados: 2.  Resolvemos las fracciones mixtas: 3.  Despejamos la Ecuación y resolvemos los cuadrados:   4.  Pasamos el cuadrado al otro lado, convirtiéndolo en raíz cuadrada:    5.  Obteniendo como respuesta 2.14 = X = a NOTA: La Hipotenusa siempre debe ser mayor que los catetos. Si cualquiera de los catetos es mayor no es Equivalente, también no lo es si la Hipotenusa es igual a los catetos.

Criterios de semejanza de triángulos.

"Semejanza de triángulos"

Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.

Dos triangulos son semejantes si tienen los lados proporcionales.

 Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos igual.

"Congruencia de triángulos"

"Congruencia de triángulos"

Los criterios de congruencia de triángulos nos dicen que no es necesario verificar la congruencia de los 6 pares de elementos ( 3 pares de lados y 3 pares de ángulos), bajo ciertas condiciones, podemos verificar la congruencia de tres pares de elementos.

Primer criterio de congruencia: LLL

Dos triángulos son congruentes si sus tres lados son respectivamente iguales.

a ≡ a’

b ≡ b’

c ≡ c’

→ triáng ABC ≡ triáng A’B'C’

Segundo criterio de congruencia: LAL

Dos triángulos son congruentes si son respectivamente iguales dos de sus lados y el ángulo comprendido entre ellos.

b ≡ b’

c ≡ c’

α ≡ α’

→ triáng ABC ≡ triáng A’B'C’

Tercer criterio de congruencia: ALA

Dos triángulos son congruentes si tienen un lado congruente y los ángulos con vértice en los extremos de dicho lado también congruentes. A estos ángulos se los llama adyacentes al lado.

b ≡ b’

α ≡ α’

β ≡ β’

→ triáng ABC ≡ triáng A’B'C’

Cuarto criterio de congruencia: LLA

Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados respectivamente congruentes y los ángulos opuestos al mayor de los lados también son congruentes.

a ≡ a’

b ≡ b’

β ≡ β’

→ triáng ABC ≡ triáng A’B'C’

"Ángulos y triángulos"

"ÁNGULOS"

Los ángulos miden la medida del giro.

• Ángulos adyacentes: Son ángulos que tienen un lado en común y el mismo vértice.

• Ángulos opuestos por el vértice: Son dos líneas que se interceptan generando ángulos opuestos por el vértice.Son ángulos adyacentes y congruentes.
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• Ángulos Complementarios: Es un tipo escencial de ángulo adyacente cuya particularidad es que suman 90°.
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• Ángulos suplementarios:Es un tipo especial de ángulo adyacente cuya particularidad es que suman 180°.
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• Ángulo Agudo: Ángulo de menos de 90°.
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• Ángulo recto: Un ángulo de 90°.
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• Ángulo obtuso: Un ángulo de más de 90° pero menos de 180°.
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• Ángulo llano: Un ángulo de 180°.
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• Ángulo reflejo o cóncavo: Un ángulo más de 180°.
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• Vuelta completa: Un ángulo de 360°.
• 

Clasificación de Triángulos.

1. Triángulo Equilátero: Es áquel que tiene todos sus lados de la misma medida.

  

2. Triángulo Isóceles: Es aquel que tiene sólo dos lados de igual medida.

 

3. Triángulo escaleno: Es aquel que tiene todas sus lados de distinta medida.

4.Triángulo Acutángulo: Tiene todos sus ángulos agudos.

5. Triángulo Rectángulo: Él que tiene un ángulo recto.

6. Triángulo Obtusángulo: Tiene un ángulo obtuso.

BOSQUEJO HISTÓRICO.

BOSQUEJO HISTÓRICO.

Los comienzos de la trigonometría se remontan a las matemáticas de la antigüedad. 

LOS CONCEPTOS TRIGONOMÉTRICOS EN LAS DIFERENTES CULTURAS

Babilonia y Egipto. 

Hace más de 3.000 años los babilonios y los egipcios ya empleaban los ángulos de un triángulo y las razones trigonométricas para realizar medidas en agricultura los primeros, y nada más y nada menos que en la construcción de las pirámides por los segundos. También se aplicaron en los primeros estudios de astronomía para el cálculo de la posición de cuerpos celestes y la predicción de sus órbitas, en los calendarios y el cálculo del tiempo, y por supuesto en navegación para mejorar la exactitud de la posición y de las rutas. Fueron los egipcios quienes establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos, criterio que se ha mantenido hasta hoy en día.

Grecia antigua.

Los conocimientos de los pueblos anteriores pasaron a Grecia e Hiparco construyó las tablas de “cuerdas” para la resolución de triángulos planos, que fueron las precursoras de las tablas de las funciones trigonométricas de la actualidad. 

India.

Al mismo tiempo que los griegos, los astrónomos de la India desarrollaron también un sistema trigonométrico, pero basado en la función seno en vez de en cuerdas. Aunque, al contrario que el seno utilizado en la actualidad, esta función no era una proporción, sino la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triangulo rectángulo de hipotenusa dada. Los matemáticos indios utilizaron diversos valores para esa función seno en sus tablas.

Arabia.

A finales del siglo VIII los astrónomos árabes continuaron con los estudios de trigonometría a finales del siglo X ya habían completado tanto la función seno como las otras cinco funciones trigonométricas: coseno tangente, cotangente, secante y cosecante. También descubrieron y demostraron teoremas fundamentales de la trigonometría, tanto para triángulos planos como esféricos, donde incorporaron el triángulo polar y el “Libro de la figura transversal”.

Occidente.

La trigonometría se introdujo en occidente sobre el siglo XII a través de traducciones de libros de astronomía arábigos. En Europa fue el matemático y Astrónomo alemán Johann Müller, más conocido como Regiomontano, quien realizó el primer trabajo importante en esta materia, llamado “De Triangulus”.Durante el siguiente siglo otro astrónomo alemán, Georges Joachim, conocido como Retico, introdujo el concepto moderno de funciones trigonométricas como Proporciones en vez de como longitudes de ciertas líneas. Ya en el S.XVI el matemático francés François Viete incorporó en su libro “Canon matemáticas” el triangulo polar en la trigonometría esférica, y encontró formulas para expresar las funciones de ángulos múltiples en función de potencias de las funciones de los ángulos simples. Desde entonces, la trigonometría como estudio de las líneas circulares, y el álgebra de los polinomios, se prestan mucho apoyo.